Бесконечные и конечные суммы и произведения

Символьные вычисления в Maple

Бесконечные и конечные суммы и произведения

Вычислим конечную сумму sum((1+i)/(1+i^4),i = 1 .. 10) ,

> sum( (1+i)/(1+i^4), i=1..10 );

затем определим значение бесконечной суммы sum(1/(k^2),k = 1 .. infinity)

> sum( 1/k^2, k=1..infinity );

Аналогично действуем для нахождения конечных и бесконечных произведений, например product((i^2+3*i-11)/(i+3),i = 0 .. 10)

> product( ((i^2+3*i-11)/(i+3)), i=0..10 );

Вычисление выражений

Зададим следующее выражение (41*x^2+x+1)^2*(2*x-1) .

> expr1 := (41*x^2+x+1)^2*(2*x-1);

Бывает полезно уметь раскрыть скобки :

> expand(expr1);

затем снова сгруппировать переменные

> expr2:=factor(%);

Вы можете также упрощать выражения самого разного типа. Например, упростить cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x)

> simplify( cos(x)^5 + sin(x)^4 + 2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2 - cos(2*x) );

Можно упрощать выражение при помощи команды normal , она позволяет упрощать дроби, сокращая их.

Например, упростим следующую дробь (x^3-y^3)/(x^2+x-y-y^2) .

> normal( (x^3-y^3)/(x^2+x-y-y^2) );

(x^2+y*x+y^2)/(x+1+y)

Обратите внимание, что вы можете вычислить значение выражения, содержащее переменные в некоторой точке:

> eval(expr1 , x=1 );

Дифференцирование и интегрирование

Зададим функцию .

> f := x -> x*sin(a*x) + b*x^2;

Вычислим производную данной функции diff(x*sin(a*x)+b*x^2,x) и запишем в переменную .

> f_prime := diff( f(x), x);

Вы можете также посчитать вторую производную: diff(x*sin(a*x)+b*x^2,x,x)

> f_second := diff( f(x), x, x );

Для проверки полученного значения вы можете взять неопределенный интеграл от полученного выражения производной

> int(f_prime, x);

> simplify(%);

Для вычисления определенного интеграла достаточно в оператор int добавить область изменения переменой.

Вычислим int({sin(a*x)+x*cos(a*x)*a+2*b*x},x = 1 .. 2)

> int( f_prime, x=1..2 );

Вычисление пределов

Вы можете вычислять как конечные, так и бесконечные пределы для широкого класса функций. Вы можете брать как левый, так и правый пределы.

Вычислим следующий предел: .

> expr := (2*x+3)/(7*x+5):

> limit( expr, x=infinity );

Теперь продемонстрируем вычисление левых и правых пределов: limit(tan(x+Pi/2),x = 0) .

> limit( tan(x+Pi/2), x=0, left );

> limit( tan(x+Pi/2), x=0, right );

Maple может распознать, когда предел не определен limit(sqrt(1-cos(x))/x*sqrt(2),x = 0) .

> limit( sqrt(1-cos(x)) / x*sqrt(2), x=0 );

Степенные ряды

Maple с легкостью раскладывает аналитические функции в ряды Тейлора до заданного порядка

> expr := sin(4*x)*cos(x):

> approx1 := series( expr, x=0, 6 );

Тот же результат можно достичь, используя функцию taylor

> taylor( expr, x=0, 8 );

Задания:

1. Вычислить: .

2. Вычислить предел: .

3. Продифференцировать функцию: .

Найти аналитически точки пересечения графиков функций: и . Результат проверить графически.
Исследовать функцию на наличие асимптот: . Построить график для проверки.
Разложить на множители выражение
Вычислить площадь области, ограниченной кривыми . Построить графики.
Найти наибольшее и наименьшее значение для функции на отрезке [0,4]
Построить касательную и нормаль к графику функции в точке (1, 0).
Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функций
Разложить функцию в окрестности.